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光行者的存在不在于他们真的能唤醒人类或者改变人类,而在于人类世界走向几近崩溃的时候能够站出来建立一套持久永恒的生活模式。

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蜂房的秘密  

2013-02-16 09:40:32|  分类: 分形启示录 |  标签: |举报 |字号 订阅

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(1982年在某职工大学当教师时作数学讲座的讲稿)

“知识就是力量”这句流行的话,是四百多年前英国大哲学家培根讲的,“知识”和“力量”是结合在一起的。有了知识,才能认识自然,才能有力量改造自然、支配自然。他说“阅读使人充实,会谈使人敏捷,写作与笔记使人精确,史鉴使人明智,诗歌使人巧慧,数学使人精细,博物使人深沉,伦理之学使人庄重,逻辑与修辞使人善辩。”他还说“精神上的缺陷没有一种是不能由相当的学问来补救的,就如同肉体上各种的病患都有适当的运动来治疗似的……如果一个人心志不专,他顶好研究数学,因为在数学的证理之中,如果他的精神稍有不专,他就非从头再来不可……”,“我深深地敬重数学,因为了解数学的人,认为它是理解一切事物的手段(布哈斯卡拉语)”,“如果你想参加到伟大的生活中去,那么趁着有这个可能时,把头脑充满数学,以后在你整个工作中,它能够给你很大的帮助(加里宁语)”。

我并不因为是数学教师而过分偏爱和推崇数学。事实上,数学是一切科学的基础,数学三大部门之一的“基础理论”,几千年来,从“老三基”代数、分析、几何逐步发展到今天的“新三基”近代、拓扑、泛函,吸引了无数学者,耗尽了多少人的脑汁。另两个部门,应用数学(运筹学、数理统计信息论、系统科学)、电子计算机(边缘科学)已深入人们生活的各个领域。数学不仅和我们现在的生活有关,而且有其预见性,数学是预测未来的工具。

苏联靠近北冰洋的维捷岛是数学家维捷用了十年时间“算”出来的,破冰船证实了该岛的存在(图一)。一八四六年,用微分方程预见了海王星的存在并确定了它在天空中的位置。一九○三年,根据海王星的不正常轨道又“算”出了冥王星。

蜂房的秘密 - 亿能 - 亿能部落格--星际事务先锋的博客

图一

数学是研究自然宇宙秘密的一个重要工具,离开数学,任何工作寸步难行。今天,我们只讲一个大家都熟悉又都不熟悉的:蜂房的秘密。

早在希腊时代(三世纪),亚历山大数学家巴鲁士就研究过蜂房的构造。从外表看,许多正六边形的洞完全铺满了一个平面区域,蜂房的一个一个的巢很规整,一个挨紧一个中间没有空隙,因而不会有任何杂质掺进去。蜜蜂采蜜经过加工做成蜂蜜,这又是食料,需要储藏,但为什么蜂房非是正六棱柱不可呢?他认为蜂房是很奇妙很优越也是最经济的结构。只有三种正多边形可以充斥整个平面,其次还有当周长一定时,正多边形边数越多其面积越大。

正N边形内角和为(N-2)180°,每一内角为(N-2)180°/ N,于是有K(N-2)180°/ N =360°,KN-2K=2N,N=2+4/(K-2),当K=3,4,6时有N=6,4,3,当周长一定时,正六边形面积最大。

奇怪处还在蜂房的底部,底部并不是平面的,是些大小相同的菱形组成的,这里又出现了数学问题。

把三棱锥B-ACD切下来,安到O-ACQ上,ADCQ为菱形,将另外两角也如此处理,即成蜂巢底部。(图二)

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图二

十八世纪,法国天文学家马拉尔地经仔细测量,奇怪地发现,菱形钝角(∠ADC)的度数为109°28′。他猜想在等容积条件下这样结构最省材料,他把这个结果告诉了法国自然哲学家列俄木。列俄木又去请教苏科学院院士、瑞士数学家克尼希,经仔细计算,用微积分证明了这个事实。用此角度最省材料,反之,用同样材料做成此角容积最大。但他在1712年递交给巴黎科学院的论文里,这个角度是109°26′,计算过程没有记载。现在我们每个人都可以轻而易举地进行计算,但这在当时却是很了不起的发现。解决这样一个复杂的极值问题,只2′的误差,对于蜜蜂这样的小动物,是完全可以允许和不能责怪的。蜜蜂不仅是勤劳的象征,而且智力也是超群的。蜜蜂解决了超出古典几何范围而属于牛顿莱布尼兹微积分的问题。

事情并未到此完结,三十多年后,迈克劳林在1743年得出更惊人的结果,他用初等数学的方法计算为109°28′。并非蜜蜂不准,而是大数学家克尼希算错了,怎么错的不得而知。

现在我们来计算一下:(图三)

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                                                                                                        图三

设BC=a(实际a约为3mm),DD′=b,则不论CC′(<b)长短如何,蜂巢的容积不变。

设P=1/2∠B′C′D′,易知B′C′D′O与B′BCC′,C′CDD′面积之和是:S=3/2a2ctgP+2ab-a2/2(3ctg2P-1) 1 /2

令ds/dp=3a2/〔2sin2 P(3-tg2P) 1 /2〕×〔1-(3-tg2P) 1 /2〕=0

P≠0°故sin2P≠0,P≠60°故 3-tg2P≠0

所以1-(3-tg2P) 1 /2=0,tg2 P=2,取tg P=2 1 /2因(0<P<60°)

即2P=2arctg(2 1 /2)=109°28′16″。

后来一偶然机会,知道克尼希也没错,是他所使用的对数表印错了(一只船遇难的时候,是因为船长经度算的不准,这是人命关天的大事,一查,是对数表印错了)。由此也可见数字的准确性是多么重要。

生物界常给我们很大启发,现在还有一门仿生学,马克思说过:“蜜蜂建筑蜂房的本领,使人间的许多建筑师感到惭愧,但是,最蹩脚的建筑师从一开始就比最灵巧的蜜蜂高明的地方,是他在用蜂蜡建筑蜂房以前已

经在自己的头脑中把它建成了。”

外国人评中国,中国高水平科学家有,但与十几亿人口太不相称了。文革前中上水平,文革后中下水平。要赶上,要大批培养人才,十几亿人口的中国,应该对人类有较大贡献。我们这一代人任重道远。在座的,都有责任、有义务、有愿望、也有能力,为振兴中华而奋发努力。

最后,以华罗庚的几句诗结束:

积久方显愚公智,发白才知智叟呆,埋头苦干是第一,熟练生出百巧来,勤能补拙是良训,一分辛劳一分才。

在科学上面是没有平坦的大路可走的,只有那在崎岖小路的攀登上不畏劳苦的人,有希望到达光辉的顶点。祝愿大家都能到达这个光辉的顶点,为我们的祖国、为世界人类做出贡献。

(本材料参考聆听辽宁师范大学梁宗巨教授讲课时的笔记)

本文转自:http://blog.sina.com.cn/s/blog_584ad2e60100fpqe.html

 


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