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流形、李群、复定向与辛几何  

2013-03-15 12:41:38|  分类: 形态场动力学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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 对于几何对象而言,只要一被赋予群结构,就立刻会变得很有意思,(光滑)流形赋予群结构之后就变成李群。下面我们就来讨论一下:怎样的流形可以具有李群结构?

 

    在讨论这个问题之前,先看一下群结构到底意味着什么?很多同学都认为群就是对称,这样的说法并不适合李群。流形上群的作用比一般对称性要高,准确的说应该是各向同性,就是说相关性质处处都一样,这是因为在某一点的性质可以通过群作用“平移”到其他所有的点。

    判断一个几何对象能够赋予群结构,除了按照定义检验一些常见例子之外,大致有两种方法:首先是用结构定理直接秒杀,与典型结构相同的就能赋予群,能赋予群的一定有这样的典型结构;但多数情况下并没有这么理性,那就得看群结构能够带来什么典型性质,不满足这个性质的自然就不能有群结构了,但满足性质的并不一定就能赋予群结构。还需要用其他方法仔细考察才行。

    这个过程有点像侦探小说的破案过程,到底哪些人才是罪犯呢?先确定有直接目击证人的情况,假若由此破案,那么只有拿出罪犯名单比对一下就行;假若未能破案,就只能先把有不在场证明的人排除掉,最后对剩下来的人详细排查。

 

    下面看流形与李群的关系,对于复情形是特别明显的。由复分析中的定理可以证明,一个紧连通的复李群一定是交换的,因此一定是环面的积,这就得到了紧复流形可以作为复李群的所有可能性。事实上,一般紧李群的结构分类也已经完成,只是稍微麻烦一点,这里也就不再详述了。

    假若没有结构分类或者是分类太麻烦,那可以用典型性质,具体可以分成拓扑性质与几何性质。李群的拓扑性质就是基本群是交换的,这就是说明了像两个一维环面的连通和之类流形就不是李群。此外,上同调群之类的高级工具也可以用来排除一些例子,比如下面要讨论的七维球面S^7不是李群就是这样处理的,这里就不再详述了。 

    李群的一个典型几何性质就是可平行化(parallelizable),其含义就是切丛平凡。事实上,李群的群结构可以把局部平凡的丛结构推到整体,因此李群是可平行化的流形。这样我们可以得到一个让可能初学者有点惊讶的结论,二维球面S^2不是李群,因为拓扑学中著名的毛球定理说明了S^2的切丛不是平凡丛。

    既然已经谈到这个问题,我们顺便对一般球面的切丛做一番概述。数学家Adams在其paper:Vector fields on spheres中证明如下结论:假若球面S^n的切丛是平凡的,那么n只能取1,3或7. 事实上,这三个值分别对应复数,Hamilton四元数与Cayley八元数。它们都是李群吗?不,n=1或3时S^n确实是李群,但Cayley八元数不满足结合律,因此就不能建立群结构,前面已经提到了S^7的确不是李群。由此也可见,切丛的可平行化并不是李群的充要条件。

 

    可平行化的一个特殊情况就是流形是可定向的。假若一个可平行化n维流形M是不可定向的(比如Klein bottle),则切丛M×R^n也是不可定向的,但我们知道任何流形的切丛都是可定向的,这就导出了矛盾!可见像Klein bottle这样的不可定向流形都不可能构成李群!

    有的同学可能会提出疑问,他似乎在某些书上看到Klein bottle K的切丛TK是不可定向的。主要原因是这里定向的含义有所不同,TK作为丛是不可定向的,但作为流形却一定是可定向的。事实上,向量丛的(丛)定向就是定义为其基流形(别说底流形啊!)的定向,为什么要引入这样的定义呢?主要原因是切丛的可定向有点平庸,本来不可定向的流形,只不过把自己克隆一下,这才变成可定向的。

    有一个类似的情况就是复流形,它也是通过克隆自己才导致可定向的。我们考虑是不是要对复流形也引入有一个新的定向呢?乍一看似乎不可能,由不同坐标得到Jacobian变成了复数,并不能直接比较大小。但可定向性还有一个体积形式的等价定义、这里Strongart教授定义复流形是可复定向的,假若存在处处非零的全纯体积形式。这样的定义还有一个好处,就是能够使得复射影空间的复定向与实射影空间的(实)定向一致。

   

    下面看几个可复定向流形的例子,为此就得引入Berger通过完整群(或和乐群,holonomy groups)对不可约、非对称单连通流形的分类,这部分内容在Mark Gross等人的Calabi-Yau Manifold and Related Geometries或伍洪熙的《黎曼几何选讲》中有概述。在Berger的分类中,完整群的SU(m)的Calabi-Yau manifold就是典型复可定向流形,实际上更为一般的almost Calabi-Yau manifold也是复可定向的。

    这里的复可定向性与辛几何有着天然的联系,辛流形总是自带一个辛结构ω,其外积构成辛流形的辛形式,它是处处非零的。一般而言,辛流形的辛形式只是光滑的,只能保证辛流形的可定向的,必须要全纯辛形式才一定保证能够有复定向,这样的辛流形被称为全纯辛流形。全纯辛流形是否一定存在呢?答案是肯定的,在Berger的分类中,完整群为Sp(m)的hyperkahler manifold就是全纯辛流形,因此一定是复可定向的。

    对于全纯辛流形而言,就连复定向也变成平庸的了,似乎还要考虑更高层次的辛定向,定义为存在处处非零的辛体积形式,使得四元数射影空间具有与复射影空间或实射影空间类似的定向。 


    这里是一些Morse Theory的小结哈,请看博文:经典Morse理论简介

 

    原文链接:http://blog.sina.com.cn/s/blog_486c2cbf0102e9fx.html


附件:

symplectic geometry
辛几何
symplectic manifold
辛流形
symplectic group
辛群
symplectic invariant
辛不变式|耦对不变式
symplectic mapping
辛映射
symplectic matrix
辛阵
symplectic space
辛空间
symplectic structure
后成合晶构造
symplectic transformation
辛变换
symplectic transformation group
辛变换群

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