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欧拉公式--数学家们评价它是“上帝创造的公式”  

2013-04-19 17:13:52|  分类: 宇宙时空架构 |  标签: |举报 |字号 订阅

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本文转载自衮雪《欧拉公式》

简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系
V+F-E=2

这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。


方法1:(利用几何画板)
逐步减少多面体的棱数,分析V+F-E
先以简单的四面体ABCD为例分析证法。
去掉一个面,使它变为平面图形,四面体顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变。因此,要研究V、E和F关系,只需去掉一个面变为平面图形,证V+F1-E=1
(1)去掉一条棱,就减少一个面,V+F1-E不变。依次去掉所有的面,变为“树枝形”。
(2)从剩下的树枝形中,每去掉一条棱,就减少一个顶点,V+F1-E不变,直至只剩下一条棱。
以上过程V+F1-E不变,V+F1-E=1,所以加上去掉的一个面,V+F-E =2。
对任意的简单多面体,运用这样的方法,都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。

方法2:计算多面体各面内角和
设多面体顶点数V,面数F,棱数E。剪掉一个面,使它变为平面图形(拉开图),求所有面内角总和∑α
一方面,在原图中利用各面求内角总和。
设有F个面,各面的边数为n1,n2,…,nF,各面内角总和为:
∑α = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nF-2) ·1800]
= (n1+n2+…+nF -2F) ·1800
=(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 (1)
另一方面,在拉开图中利用顶点求内角总和。
设剪去的一个面为n边形,其内角和为(n-2)·1800,则所有V个顶点中,有n个顶点在边上,V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·3600,边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。
所以,多面体各面的内角总和:
∑α = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800
=(V-2)·3600. (2)
由(1)(2)得: (E-F) ·3600 =(V-2)·3600
所以 V+F-E=2.
(1)分式:
a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)
当r=0,1时式子的值为0
当r=2时值为1
当r=3时值为a+b+c

(2)复数
由e^iθ=cosθ+isinθ,得到:
sinθ=(e^iθ-e^-iθ)/2i
cosθ=(e^iθ+e^-iθ)/2

(3)三角形
设R为三角形外接圆半径,r为内切圆半径,d为外心到内心的距离,则:
d^2=R^2-2Rr

(4)多面体
设v为顶点数,e为棱数,f是面数,则
v-e+f=2-2p
p为欧拉示性数,例如
p=0 的多面体叫第零类多面体
p=1 的多面体叫第一类多面体

(5) 多边形
设一个二维几何图形的顶点数为V,划分区域数为Ar,一笔画笔数为B,则有:
V+Ar-B=1
(如:矩形加上两条对角线所组成的图形,V=5,Ar=4,B=8)

(6). 欧拉定理
在同一个三角形中,它的外心Circumcenter、重心Gravity、九点圆圆心Nine-point-center、垂心Orthocenter共线。
欧拉公式
简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系
V+F-E=2

这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。


认识欧拉
欧拉,瑞士数学家,13岁进巴塞尔大学读书,得到著名数学家贝努利的精心指导.欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家,他从19岁开始发表论文,直到76岁,他那不倦的一生,共写下了886本书籍和论文,其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作,整整用了47年。
欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神,可以使他在任何不良的环境中工作:他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。即使在他双目失明后的17年间,也没有停止对数学的研究,口述了好几本书和400余篇的论文。当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。欧拉永远是我们可敬的老师。
欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支,对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究!有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。19世纪伟大的数学家高斯(Gauss,1777-1855)曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”。欧拉还是数学符号发明者,他创设的许多数学符号,例如π,i,e,sin,cos,tg,∑,f (x)等等,至今沿用。
欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题,还解决了使牛顿头痛的月离问题。对著名的“哥尼斯堡七桥问题”的完美解答开创了“图论”的研究。欧拉发现,不论什么形状的凸多面体,其顶点数V、棱数E、面数F之间总有关系V+F-E=2,此式称为欧拉公式。V+F-E即欧拉示性数,已成为“拓扑学”的基础概念。那么什么是“拓扑学”? 欧拉是如何发现这个关系的?他是用什么方法研究的?今天让我们沿着欧拉的足迹,怀着崇敬的心情和欣赏的态度探索这个公式......

 

欧拉定理的意义
(1)数学规律:公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律

(2)思想方法创新:定理发现证明过程中,观念上,假设它的表面是橡皮薄膜制成的,可随意拉伸;方法上将底面剪掉,化为平面图形(立体图→平面拉开图)。

(3)引入拓扑学:从立体图到拉开图,各面的形状、长度、距离、面积等与度量有关的量发生了变化,而顶点数,面数,棱数等不变。
定理引导我们进入一个新几何学领域:拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料(如橡皮波)做成的图形,拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。

(4)提出多面体分类方法:
在欧拉公式中, f (p)=V+F-E 叫做欧拉示性数。欧拉定理告诉我们,简单多面体f (p)=2。
除简单多面体外,还有非简单多面体。例如,将长方体挖去一个洞,连结底面相应顶点得到的多面体。它的表面不能经过连续变形变为一个球面,而能变为一个环面。其欧拉示性数f (p)=16+16-32=0,即带一个洞的多面体的欧拉示性数为0。

(5)利用欧拉定理可解决一些实际问题
如:为什么正多面体只有5种? 足球与C60的关系?否有棱数为7的正多面体?等

 

欧拉定理的证明
方法1:(利用几何画板)
逐步减少多面体的棱数,分析V+F-E
先以简单的四面体ABCD为例分析证法。
去掉一个面,使它变为平面图形,四面体顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变。因此,要研究V、E和F关系,只需去掉一个面变为平面图形,证V+F1-E=1
(1)去掉一条棱,就减少一个面,V+F1-E不变。依次去掉所有的面,变为“树枝形”。
(2)从剩下的树枝形中,每去掉一条棱,就减少一个顶点,V+F1-E不变,直至只剩下一条棱。
以上过程V+F1-E不变,V+F1-E=1,所以加上去掉的一个面,V+F-E =2。
对任意的简单多面体,运用这样的方法,都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。

方法2:计算多面体各面内角和
设多面体顶点数V,面数F,棱数E。剪掉一个面,使它变为平面图形(拉开图),求所有面内角总和∑α
一方面,在原图中利用各面求内角总和。
设有F个面,各面的边数为n1,n2,…,nF,各面内角总和为:
∑α = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nF-2) ·1800]
= (n1+n2+…+nF -2F) ·1800
=(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 (1)
另一方面,在拉开图中利用顶点求内角总和。
设剪去的一个面为n边形,其内角和为(n-2)·1800,则所有V个顶点中,有n个顶点在边上,V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·3600,边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。
所以,多面体各面的内角总和:
∑α = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800
=(V-2)·3600. (2)
由(1)(2)得: (E-F) ·3600 =(V-2)·3600
所以 V+F-E=2.

 

欧拉定理的运用方法
(1)分式:
a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)
当r=0,1时式子的值为0
当r=2时值为1
当r=3时值为a+b+c

(2)复数
由e^iθ=cosθ+isinθ,得到:
sinθ=(e^iθ-e^-iθ)/2i
cosθ=(e^iθ+e^-iθ)/2

(3)三角形
设R为三角形外接圆半径,r为内切圆半径,d为外心到内心的距离,则:
d^2=R^2-2Rr

(4)多面体
设v为顶点数,e为棱数,f是面数,则
v-e+f=2-2p
p为欧拉示性数,例如
p=0 的多面体叫第零类多面体
p=1 的多面体叫第一类多面体

(5) 多边形
设一个二维几何图形的顶点数为V,划分区域数为Ar,一笔画笔数为B,则有:
V+Ar-B=1
(如:矩形加上两条对角线所组成的图形,V=5,Ar=4,B=8)

(6). 欧拉定理
在同一个三角形中,它的外心Circumcenter、重心Gravity、九点圆圆心Nine-point-center、垂心Orthocenter共线。

其实欧拉公式是有很多的,上面仅是几个常用的。


使用欧拉定理计算足球五边形和六边形数

问:足球表面由五边型和六边型的皮革拼成,计算一共有多少个这样的五边型和六边型?
答:足球是多面体,满足欧拉公式F-E+V=2,其中F,E,V分别表示面,棱,顶点的个数
设足球表面正五边形(黑皮子)和正六边形(白皮子)的面各有x个和y个,那么
面数F=x+y
棱数E=(5x+6y)/2(每条棱由一块黑皮子和一块白皮子共用)
顶点数V=(5x+6y)/3(每个顶点由三块皮子共用)
由欧拉公式,x+y-(5x+6y)/2+(5x+6y)/3=2,解得x=12
所以共有12块黑皮子
所以,黑皮子一共有12×5=60条棱,这60条棱都是与白皮子缝合在一起的
对于白皮子来说:每块白色皮子的6条边中,有3条边与黑色皮子的边缝在一起,另3条边则与其它白色皮子的边缝在一起,所以白皮子所有边的一半是与黑皮子缝合在一起的
那么白皮子就应该一共有60×2=120条边,120÷6=20
所以共有20块白皮子

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