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光行者的存在不在于他们真的能唤醒人类或者改变人类,而在于人类世界走向几近崩溃的时候能够站出来建立一套持久永恒的生活模式。

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由社区银行存款利息想到的一个问题——自然对数之底e  

2013-04-21 09:56:31|  分类: 数学眼光 |  标签: |举报 |字号 订阅

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由社区银行存款利息想到的一个问题——自然对数之底e


原地址:

http://moroboshidan.blog.163.com/blog/static/615248782011116214748/

记得最初造访奥盟论坛(注:奥特曼中国联盟,bbs.ultramanclub.com)是2005年左右,但真正在论坛注册,却是2007年年初之时.


刚到论坛时,奥盟币显得非常重要.毕竟,那个时候,下资源经常是要花钱的,动辄几十甚至上百.买一个象征自己对奥特曼喜爱风格的战队徽章,更是需要1000AB(注:奧币,奥盟币).

所以,那个时候,我很注意发展自己的存款,方法有二:一曰开源,一曰节流。

所谓开源,刚来奥盟时那几个月,我可以说一个水字啊!基本上海底区逢贴必回的,自己也经常转载一些火星得不知多火星的文章以骗积分(当然,当时比起积分,我更看重AB).

那个时候,我虽然算不上水王,但经常性的,一天的发帖量位居前三,有时候是第一……

现在回想起来真庆幸,我的主号居然未尝被封印过,简直是奇迹!


当然,到了后来,我发帖的重点,逐渐转向了主讨论区,尤其是昭和系奥特曼研讨区,参与着其中讨论,后来更是自己写一些相关的话题……之后,我也因此有幸成为版主的一员.


所谓节流,就是少花钱,比方说尽量不去买售价贴.为此我曾经错过不少精华资源,不过好在后来基本上都补上了.

另外就是及时把多余的AB存入社区银行.


在那段时间里,有一样东西我很看重——那就是社区银行存款的利息.

奥盟社区存款,日利率0.5%,每24小时清算一次利息……

记得最疯狂的时候,我几乎每天都要去清算利息,以及存款.所为的,不过是几十个AB而已……

现在咱们的AB动辄百万、千万,从事实上来说已经贬值地不像样子了……虽然资源之类的东西物价未尝有多大改变,但这也只是因为AM版规的“宏观调控”而已……
这里毕竟不是现实中,AB也远远不如现实中的RMB那么重要……

现在下个资源,遇到售价贴也就花个几十最多数百,根本就是毛毛雨.但在一开始,有可能我倾家荡产也下不起一部资源.之后则是有些资源几乎要倾尽我的积蓄……再往后则是要从我账户上砍掉一大笔……再往后则是砍掉一个零头……再往后……


直到有一天我发现我的AB再也用不完了.记得我的AB突破10万是2008年夏天的时候.在那个时候,我就知道,从今之后,AB将是个摆设……

唉……昔日的日子,令人感叹……

不过对于昔日的回忆到此为止了,本文的正题是数学,是数学!


我当时就很奇怪,我哪来那么多AB的?靠发言,最多的时候每月也不过2000帖,一般每月只有几百贴,后来甚至降 为几十帖.发一帖5AB、回一帖2AB.以及做版主数个月,每月1000AB,再加上社区一些奖励,例如原创精华帖奖励100AB……其中还有一些购买资 源的支出……

再怎么算,也不可能有10万以上.那么唯一的解释就是——银行利息.

刚开始我确实轻视了银行利息的作用.银行利息,可以说是那种没有短时间的明显效果,但时间越长越能凸显其不凡的“致富手段”.

如果是现实生活中的银行,由于利率比网络银行低太多了,想要有特别明显的效果,需要等N多年……

而网络上的社区银行则要快得多……


从2008年夏天之后,我就把AB纯粹作为一种好看——毕竟,你AB数排名前几,哪怕再没有用,放那总比没有好吧?

从那之后,由于个人学业原因,我来奥盟也没以前那么频繁了.增长“财富”的主要手段,就是不时地清理利息.

通过不断地清算利息,我的“财产”缓慢地增长,并超越很多人.到了今天已经能位居前10了.

为什么?
唯一的原因就是我清算利息比大多数人都要频繁.


旧时代,地主、放债者们剥削他人,用的就是类似的“利滚利”.




于是我开始研究这利用银行“致富”究竟有多快.


这一研究,却引出了数学上一个很有意思、内容也极为丰富的东西——自然对数之底e,与π齐名的两大超越数之一.



首先,为了研究简单起见,咱们假设不再有除了银行利息之外的其他资金增长.

很多前辈由于忙碌,逐渐淡出奥盟之后,基本上就是类似于这样.但我却关注过他们的AB,不少前辈一直都有很多AB,且不断增长.

我也逐渐类似于这样.毕竟,现在我很少往银行里存钱,而银行一天的利息,要远远高于其他方式所得的AB.


只靠银行利息!











所以我们假设最初的本金不变.


AM社区的银行利息为每天0.5%,换而言之就是一笔钱存进去,不去动它,200天之后将自动翻一番!


那么如果你不时地去清算利息呢?200天后你的AB有多少?

再次,为了简单起见,我们假设清算AB利息的时间间隔是均匀的,总共清算过n次.

n∈N*






咱们假设自己原有的本金为a,

如果这200天只在最后清算一次利息,那么最后本息和f(n)=f(1)=2a


如果这200天清算过n次利息

200天后的本息和显然为:


f(n)=a*(1+1/n)^n,n∈N*


然后,将xn=(1+1/n)^n单独提出来

这玩意是什么?

(lim(n——无穷大))((1+1/n)^n)=e

(n∈N*)

这玩意是自然对数之底的定义!

也就是说,当n趋于正无穷大时,(1+1/n)^n趋向于e







还有一种定义是:e=Σ(n=0——无穷大)(1/n!)

即e=1/1+1/2!+1/3!+…+1/n!+…

其中n∈N*

0!=1

n>=1时,
n!=1*2*3*…*n






首先我们需要证明{xn}是一个单调递增数列


由牛顿二项公式展开:

xn=(1+1/n)^n
=1+(n/(1!))*(1/n)+(n*(n-1)/(2!))*(1/n^2)+…(n*(n-1)*(n-2)/(3!))*(1/n^3)+…+(n*(n-1)*(n-2)/(n!))*(1/n^n)
=1+1+(1/(2!))*(1-1/n)+(1/(3!))*(1-1/n)*(1-2/n)+…+(1/(n!))*(1-1/n)*(1-2/n)*…*(1-(n-1)/n)


显然{xn}是一个单调增数列



{xn}是一个单调增数列意味着什么?

意味着你利息清算次数越多,最后得到的本息和就越高!




设yn=Σ(k=0——n)(1/k!)=1+1+1/(2!)+1/(3!)+…+1/(1*2*…*n)
<1+1+1/2+1/(2^2)+…+1/(2^(n-1))<3

{yn}是一个单调递增的收敛数列,显然存在极限,这个极限是一个大于2小于3的实数.


又xn<=yn恒成立

{xn}亦为一个单调递增的收敛数列,也存在极限


可以证明,这两个数列的极限是相等的

将xn=(1+1/n)^n的定义域推广至实数集依旧成立


数学中将这个极限称为e




(详细的证明、以及e的其他性质,比方说其是无理数、超越数之类的,可以参阅诸如《高等数学》,《数学分析》一类的书)


e大约等于2.7182818


这意味着什么?

这就意味着,这200天内你再怎么多次清算利息,哪怕是每秒、每毫秒、每微秒清算一次利息,200天后你的钱也不可能是原来的3倍!

当然,事实上只允许每天清算一次利息,24小时不到强行去清算,只能使得这一天没有利息!

如果恰好把握好时间,每次总能保证每天成功清理一次利息的话,200天后利息将会是原来的大约2.7115171倍!

这与e的差距已然不大!


事实上由e=Σ(n=0——无穷大)(1/n!)的定义,可以得出{yn}是一个收敛得很快的数列

所以,保证每天清理一次,得到的AB将会接近于原先的e倍




怪不得勤清算利息,资金会增长这么快!



后来我还发现,著名科普作家雅·别莱利曼也研究过这个问题.(详见《趣味代数学》)

看来这样的问题确实算得上初等数学中著名的问题了……






从银行存款可以牵扯到e,那么,既然谈到e,我就顺便说几道有关e的趣题.


一道题非常简单:

求证:

(1+1/n)^n<e,n∈N*





这题可不需要用高等数学知识哦,直接初等数学搞定!





先证明引论:

x>0时,ln(x+1)<x


可构造函数
f(x)=x-ln(x+1)

f(0)=0

f'(x)=1-1/(x+1)

显然x>0时,f'(x)>0

故x>0时,f(x)=x-ln(x+1)>0

ln(x+1)<x恒成立

代入x=1/n

有ln(1+1/n)<1/n

n*ln(1+1/n)<1

ln((1+1/n)^n)<1

则(1+1/n)^n<e,n∈N*

命题得证








第二道题,是著名的蠕虫与橡皮绳的问题:

一条蠕虫在橡皮绳的一端.橡皮绳长一公里.

蠕虫以每秒1厘米的稳定速度沿橡皮绳爬行.在1秒钟之后,橡皮绳就像橡皮筋一样拉长为2公里.再过一秒钟后,它又拉长为3公里,如此下去.(这种拉伸是均匀的,橡皮绳每一部分都同等地被拉伸)蠕虫最后究竟会不会达到终点呢?





这题还请诸位道友们自己思考.











第三道题,也是一道关于e的题目:



已知一个正实数a,将其分成n份,要求使得分得的数连乘之积最大,该如何分?






由基本不等式,均分时连乘之积最大


设f(n)=(a/n)^n,n∈N*

将其推广到实数集

y=f(x)=(a/x)^x=(a^x)/(x^x)

ln(y)=x*ln(a/x)=x*ln(a)-x*ln(x)

y'/y=ln(a)-ln(x)-1

y'=y*(ln(a)-ln(x)-1)=((a^x)/(x^x))*(ln(a)-ln(x)-1)

显然,当x=a/e时,y'=0

此时y=f(x)取最大值


故只要将其所分份数接近于a/e,每份接近于e时,连乘积取最大值
































附录 数学题问答





几道与本文有关的……数学题……















对于函数f(x),若存在x0∈R,使得f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点.
若函数f(x)=(x^2+a)/(bx-c)(b,c为正整数)有且仅有两个不动点0,2,且f(-2)<-0.5.

(1)试求函数f(x)的单调区间;

(2)已知各项不为0的数列{an}满足4Sn*f(1/an)=1
求证:-1/a(n+1)<ln((n+1)/n)<-1/an;

(3)设bn=-1/an,Tn为数列{bn}的前n项和,求证:T2009-1<ln 2009<T2008.










求证不等式:

-1<Σ(k=1——n)(k/(k^2+1)-ln(n))<=1/2,n=1,2,…
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