注册 登录  
 加关注
   显示下一条  |  关闭
温馨提示!由于新浪微博认证机制调整,您的新浪微博帐号绑定已过期,请重新绑定!立即重新绑定新浪微博》  |  关闭

亿能部落格---观察思维比思维本身更重要

我是回来地球补课的!

 
 
 

日志

 
 
关于我

光行者的存在不在于他们真的能唤醒人类或者改变人类,而在于人类世界走向几近崩溃的时候能够站出来建立一套持久永恒的生活模式。

网易考拉推荐

世界上最完美的公式 ----欧拉公式  

2015-03-22 15:46:26|  分类: 数学眼光 |  标签: |举报 |字号 订阅

  下载LOFTER 我的照片书  |

 

      欧拉公式

 

  在数学历史上有很多公式都是欧拉(leonhard euler 公元1707-1783年)发现的,它们都叫做

  欧拉公式,它们分散在各个数学分支之中。

  (1)分式里的欧拉公式: 

  a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b) 

  当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1 

  当r=3时值为a+b+c 

  (2)复变函数论里的欧拉公式:

  e^ix=cosx+isinx,e是自然对数的底,i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位.

  将公式里的x换成-x,得到:

  e^-ix=cosx-isinx,然后采用两式相加减的方法得到: 

sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到:

  e^i∏+1=0. 这个恒等式也叫做欧拉公式,它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个数学联系到了一起:两个超数:自然对数的底e,圆周率∏,两个单位:虚数单位i和自然数的单位1,以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”,我们只能看它而不能理解它。

虽然不敢肯定她是世界上“最伟大公式",但是可以肯定她是最完美的数学公式之一。 

   

   理由如下: 

   

   

   1。自然界的 e 含于其中。 

   自然对数的底,大到飞船的速度,小至蜗牛的螺线,谁能够离开它? 

   

   

   2。最重要的常数 π 含于其中。 

   世界上最完美的平面对称图形是圆。“最伟大的公式”能够离开圆周率吗? 

   (还有π 和e是两个最重要的无理数!)

   

   3。最重要的运算符号 + 含于其中。 

   之所以说加号是最重要的符号,是因为其余符号都是由加号派生而来。减号是加法的逆逆运算,乘法是累计的加法…… 

   

   

   4。最重要的关系符号 = 含于其中。 

   从你一开始学算术,最先遇见它,相信你也会同意这句话。 

   

   

   5。最重要的两个元在里面。 

   零元 0 ,单位元 1 ,是构造群,环,域的基本元素。如果你看了有关《近世代数》的书,你就会体会到它的重要性。 

   

   6。最重要的虚单位 i 也在其中。 

   虚单位 i 使数轴上的问题扩展到了平面,而在哈密尔的 4 元数与 凯莱的 8 元数中也离开不了它。 

   

   

   之所以说她美,是因为这个公式的精简。她没有多余的字符,却联系着几乎所有的数学知识。 

   

   有了加号,可以得到其余运算符号; 

   有了0,1,就可以得到其他的数字; 

   有了 π 就有了圆函数,也就是三角函数; 

   有了 i 就有了虚数,平面向量与其对应,也就有了哈密尔的 4 元数,现实的空间与其对应; 

   有了 e 就有了微积分,就有了和工业革命时期相适宜的数学。 

  (3)三角形中的欧拉公式:

  设r为三角形外接圆半径,r为内切圆半径,d为外心到内心的距离,则: d^2=r^2-2rr 

  (4)拓扑学里的欧拉公式:

  v+f-e=x(p),v是多面体p的顶点个数,f是多面体p的面数,e是多面体p的棱的条数,x(p)是多面体p的欧拉示性数。

  如果p可以同胚于一个球面(可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上),那么x(p)=2,如果p同胚于一个接有h个环柄的球面,那么x(p)=2-2h。

  x(p)叫做p的欧拉示性数,是拓扑不变量,就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量,是拓扑学研究的范围。

  在多面体中的运用:

  简单多面体的顶点数v、面数f及棱数e间有关系

  

 v+f-e=2

  这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。

  (5)初等数论里的欧拉公式:

  欧拉φ函数:φ(n)是所有小于n的正整数里,和n互素的整数的个数。n是一个正整数。

  欧拉证明了下面这个式子:

  如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am,其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数,而且两两不等。则有

  φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)

  利用容斥原理可以证明它。

  此外还有很多著名定理都以欧拉的名字命名。

  评论这张
 
阅读(1051)| 评论(0)
推荐 转载

历史上的今天

评论

<#--最新日志,群博日志--> <#--推荐日志--> <#--引用记录--> <#--博主推荐--> <#--随机阅读--> <#--首页推荐--> <#--历史上的今天--> <#--被推荐日志--> <#--上一篇,下一篇--> <#-- 热度 --> <#-- 网易新闻广告 --> <#--右边模块结构--> <#--评论模块结构--> <#--引用模块结构--> <#--博主发起的投票-->
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

页脚

网易公司版权所有 ©1997-2017