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“奇数塔”的秘密  

2016-05-10 12:41:44|  分类: 数学眼光 |  标签: |举报 |字号 订阅

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本文转载自老骥《“奇数塔”的秘密》

通常,把奇数列写成

    1,3,5,…,(2n-1),…  (n,自然数)

这种写法,很难发现它所特有的一些奇妙性质。

如果,把奇数列写成“奇数塔”的形式:

              1

             3+5

            7+9+11

           13+15+17+19

          21+23+25+27+29

             ……

情况就大不相同。

下面,就让我们来试试看:

首先,算出每行奇数的和

              1        =1=13

             3+5       =8=23

            7+9+11      =27=33

           13+15+17+19    =64=43

          21+23+25+27+29   =125=53

             ……

稍微一看就会发现:

1、第几行,就有几个奇数;

2、第几行奇数的和,就等于几的立方。

现在,让我们在这两个观察结果上,动动脑筋:

从29=2n-1,n=15知道,29是第15个奇数。

换一个视角,15也是行号1,2,3,4,5的和,即15=1+2+3+4+5=5(5+1)/2。

我们还知道,奇数列1,3,5,7,…,(2n-1),…的和,算到第几个数,就等于几的平方。现在算到了第15个数,就等于15的平方。

验证一下:13+23+33+43+53=225=152,确实如此。

请注意观察上面的两个等式:

    15=1+2+3+4+5=5(5+1)/2   (1)

    13+23+33+43+53=225=152      (2)

(1)式中的5(5+1)/2,换掉(2)式中的15,就得到:

    13+23+33+43+53=[5(5+1)/2]2

推而广之,就得到:

    13+23+33+…+n3[n(n+1)/2]2

这不就是“求连续自然数立方和的公式”嘛!

真是一个意想不到的结果!

原来,在“奇数塔”中,竟然隐藏着如此大的秘密!

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