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再谈图形数  

2016-05-10 10:47:33|  分类: 数学眼光 |  标签: |举报 |字号 订阅

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本文转载自老骥《再谈图形数》

(选自《数论妙趣——数学女王的盛情款待》第十八章 球戏)

玩过保龄球的人都知道,10只木瓶是按三角形摆放的。台球在不玩时,15只球也是摆成三角形。凡是能配置成等边三角形模式的小件物品,其数目就是三角形数。显然,三角形数是从1开始的连续正整数之和。

如果第r个三角形数用Tr表示,那么,T1=1,T2=1+2=3,T3=1+2+3=6,等等。所以,第r个三角形数Tr=1+2+3+…+r=r(r+1)/2。

一些小件物品也能摆成正方形。当然它们的数目1,4,9,16,25,…就是正方形数。

如果第r个正方形数用Sr表示,那么,S1=12=1,S2=22=4,S3=32=9,……Sr=r2

由于

  Tr=r(r+1)/2,

  Tr-1=(r-1)(r-1+1)/2=(r-1)r/2,

相加得

    Tr+Tr-1=r(r+1)/2+(r-1)r/2=(r2+r)/2+(r2-r)/2=r2

  联想到正方形数Sr=r2,所以

            Sr=Tr+Tr-1

即,正方形数Sr,等于同阶三角形数Tr与前一阶三角形数Tr-1之和。

正方形数与三角形数之间的这种关系,在下图中表现得一目了然:

                            ● ● ● ● ●

                     ● ● ● ●  ○ ● ● ● ●

              ● ● ●  ○ ● ● ●  ○ ○ ● ● ●

         ● ●  ○ ● ●  ○ ○ ● ●  ○ ○ ○ ● ●

      ●  ○ ●  ○ ○ ●  ○ ○ ○ ●  ○ ○ ○ ○ ●

当然,还有五边形数、六边形数、七边数等等。下面就是五边形数:

再谈图形数 - 老骥 - 周靖国的博客

如果用Pr表示五边形数,那么P1=1,P2=5,P3=12,P4=22,…,Pr=r(3r-1)/2。

取正方形数Sr=r2,三角形数Tr-1=(r-1)r/2,二者相加

  Sr+Tr-1=r2+(r-1)r/2=(3r2-r)/2=r(3r-1)/2=Pr

于是

        Pr=Sr+Tr-1

即,五边形数等于同阶的正方形数与前一阶三角形数之和。

使人万万想不到的是:类似的关系竟然可以推广!

一般地说,n边形数等于同阶的(n-1)边形数与前一阶三角形数之和。

此外,立方数1,8,27,64,125,…与三角形数也有联系。

从1开始的连续r个立方数之和,必定等于第r个三角形数的平方。例如,对于r=4来说,第4个三角形数是1+2+3+4=10,

于是

      13+23+33+43=(1+2+3+4)2=100。

推而广之,

      13+23+33+…+r3=(1+2+3+…+r)2

不就可以求从1开始的连续正整数立方和了吗?

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