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不可思议的“雪花曲线”  

2016-05-10 11:14:53|  分类: 数学眼光 |  标签: |举报 |字号 订阅

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如果说有一种平面图形,它的面积是有限的而周长却是无限的,你相信吗?“雪花曲线”就是这样。那么,什么是“雪花曲线”呢?

“雪花曲线”是从一个等边三角形(如图)开始,一步一步作出来的。

不可思议的“雪花曲线” - 老骥 - 周靖国的博客

  第一步:把等边三角形的各边三等分,从每条边三等分后的中段,向外作小等边三角形,再去掉与原来等边三角形重叠的边(如图)。

不可思议的“雪花曲线” - 老骥 - 周靖国的博客  

  为了便于叙述,以后把这个过程简称为“变化”。

  第二步:对上一步得到的小等边三角形,重复上面的变化(如图)。

不可思议的“雪花曲线” - 老骥 - 周靖国的博客
  第三步:再对上一步得到的小等边三角形,重复上面的变化(如图)。
不可思议的“雪花曲线” - 老骥 - 周靖国的博客
  第四步:再对上一步得到的小等边三角形,重复上面的变化(经图)。
不可思议的“雪花曲线” - 老骥 - 周靖国的博客

第五步、第六步……照这样一直进行下去,就得到“雪花曲线”。

现在来计算“雪花曲线”(所围成的图形)的面积和周长。

从以上过程可以看出,“雪花曲线”是一个边长、边数不断变化,同一图形边长相等的对称图形。所以,必须首先研究一下图形的边数、边长和面积的变化规律。

观察发现:

规律一:每次变化后,原来等边三角形的一条边,所形成的折线包括4条线段,所以,新图形的边数是原图形的4倍,而边长是原图形的1/3;

规律二:每次变化后,原来等边三角形的一条边上,所作的小等边三角形的面积,是原来等边三角形面积的1/9(参看下图)

不可思议的“雪花曲线” - 老骥 - 周靖国的博客
  一、“雪花曲线”的面积:

为了便于计算,设原来等边三角形的面积为“1”。

第一步以后,因为原来的边数是3,向外作了3个小等边三角形;每个小等边三角形的面积是1/9,增加的面积是3×1/9。

第二步以后,边数变成3×4,向外作了3×4个小等边三角形;每个小等边三角形的面积是(1/9)2增加的面积是3×4×(1/9)2

第三步以后,边数变成3×42,向外作了3×42个小等边三角形;每个小等边三角形的面积是(1/9)3增加的面积是3×42×(1/9)3

第四步以后,边数变成3×43,向外作了3×43个小等边三角形;每个小等边三角形的面积是(1/9)4增加的面积是3×43×(1/9)4

依次类推,第n步以后,边数变成3×4n-1,向外作了3×4n-1个小等边三角形;每个小等边三角形的面积是(1/9)n增加的面积是3×4n-1×(1/9)n

于是,“雪花曲线”的面积

S=1+3×1/9+3×4×(1/9)2+3×42×(1/9)3+3×43×(1/9)4+…+3×4n-1×(1/9)n+…

化简,由第3项开始,从每项的最后一个因数中,拿出1个1/9,与前面的3乘在一起,于是:

S=1+3×1/9+(3×1/9)×(4×1/9)+(3×1/9)×(4×1/9)2+(3×1/9)×(4×1/9)3+…+(3×1/9)×(4×1/9)n-1+…

=1+1/3+1/3×4/9+1/3×(4/9)2+1/3×(4/9)3+…+1/3×(4/9)n-1+…

=1+1/3[1+4/9+(4/9)2(4/9)3+…+(4/9)n-1]+…

中括号里面是一个首项为1,公比为4/9的无穷等比数列。

根据等比数列的求和公式,首项a,公比q时,等比数列前n项的和

Sna(1-qn)/(1-q)。

对于q<1的无穷等比数列来说,qn趋于0,

S=a/(1-q)。

这里,a=1,q=4/9<1,所以,中括号里面的和等于1/(1-4/9)9/5。于是,“雪花曲线”的面积是

S=1+1/3×9/5=1+3/5=8/5。

即,雪花曲线”的面积是原来等边三角形的8/5倍。

二、雪花曲线”的周长:

因为,周长=边长×边数,而每次变化后,边长是原来的1/3,边数是原来的4倍,所以,周长是原来的1/3×4=4/3。也就是说,每次变化后,边长都比原来增加1/3。随着变化的持续进行,周长会变得越来越大,以至无穷。

这就是雪花曲线”的非同寻常之处:

它的面积是有限的;

它的周长却是无限的。

是不是“不可思议”?!

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