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古代的数学迷宫——图形数  

2016-05-11 23:49:28|  分类: 数学眼光 |  标签: |举报 |字号 订阅

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古代的数学迷宫——图形数
古代的数学迷宫——图形数作者:佚名    快乐学苑来源:网络    点击数:3664    更新时间:2009-11-24
  古希腊人曾把数看作是位置不定的点的集合。甚至毕达哥拉斯还说过“数是万物之源”的那样毫无道理的话。这样,就不得不说,认为宇宙是由点构成的所谓原子论,也可以归结到来源于“点=数的集合”的古希腊思想。

  若把数当作是点的集合,那么,以多少个点表示数的问题,最终将变成可以看得见的图形数是怎样表示出来的问题。例如,数3可以用3个点来表示,也可用等分成三个单位长度来表示。如图11

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  然而古希腊人更关心的是什么数能够排列成正三角形、正方形等等美丽的图形。毕达哥拉斯曾用小石头,如图12那样,从上往下1个、2个、3个、4个地依次摆成正三角形,他指着小石头叫别人数。当那个人数完1234时,毕达哥拉斯却说:“好啦,你说到的4,我看实际是10。”毕达哥拉斯把10看成是一个神圣不可侵犯的数。他认为1表示点,2表示线,3表示面(三角形),4表示体(三角锥),总括起来这个美丽的正三角形数10,就可以表现宇宙。

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  像10这样可以排列出美丽的正三角形的数是很多的,这些数都可以叫做三角数(如图13)。设以Tn来表示第n个三角数,则Tn就等于123n个自然数的和,把它列成数学式就是:

  Tn=123+…+n

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  能排列出正方形的数叫做四角数(如图14),四角数构成了平方数。若以Sn表示第n个四角数,则数学式就是:

  Sn=n2

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  但是我们从图1-5可以看出,四角数是由1开始只把奇数加起来构成的。用数学式表示就是:

  Sn=135+…+(2n-1=n2

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  与四角数相对应,若从2开始,只把偶数加起来就变成所谓的长方数(如图16),长方数也叫矩形数。以Rn表示第n个长方数,它的数学式就是:

  Rn=24+…+2n=nn1

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  在作四角数和长方数时,可以用和角尺一样的图形。这种角尺状图形,数学上叫磬折形,其中表示的数叫磬折形数。两个相邻磬折形数之差,实际上是数列的级差。

  在三角数Tn、四角数Sn、长方数Rn之间存在着各种各样的关系。如图17所示,两个三角数的和就等于一个长方数。

  2Tn=nn1

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  从而,下式是可以成立的。

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  假如我们仔细地观察一下下面的两个数列,不难发现,相邻的两个三角数之和是等于一个四角数的。

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  这种关系,如图18,用数学式表示,则可为:

  Tn-1Tn=Sn=n2

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  让我们再看看图19,图中用○符号表示的数是S5;用●表示的数是S6,由图可以看出

  4T51=S5S6

  从而,一般可以认为下式是成立的。

  4Tn1=SnSn1

  如果把含有符号×的全体考虑进去的话,则很清楚地看出下式也是成立的。

  8Tn1=S2n1

  希腊人还研究过如图110所示的五角数及图111所示的六角数。他们把五角数排列成

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  把六角数排列成

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  设Pn表示第n个五角数;Hn表示第n个六角数。我们只要稍微观察一下这两个图,就不难看出,以下的数学公式成立。

  Pn=SnTn-1Hn=2Sn-n

  假如你观察不出来,你可以把五角数中的○那部分看成是Sn,把●那部分看成是Tn-1,两者相加不就是Pn了吗;另外,可以把六角数中的●部分数两遍,于是就可以把全体看成两个四角数,然后再减去多数一遍的●部分不就成了Hn了吗。

  下面让我们看看求三角数T1T2Tn之和的情况吧。为了醒目起见,我们把T1T2T3Tn先各乘上3,然后把3T13T23T33Tn排列成如图112所示的样子,使之成为左右横向是Tn行;上下纵向是n2列的长方形。于是由

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  3T1+T2++Tn=n+2Tn

  可以得到下边比较易看的关系式:

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  然后,我们还可以看看求四角数S1S2Sn之和的情况。因为每个四角数,都是由1起,依次只把奇数加起来的和表示的,所以S1S2Sn的和就可以排列出如图113所示的摩天楼样形状。图中○表示奇数编号的四角数S1S3S5…●表示偶数编号的四角数S2S4

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  若在摩天楼的两侧各加上S1S2Sn的话,那么,从上到下的Tn行与从左到右的2n1列所形成的长方形就可以表示3S13S23Sn之和。因而

  3S1S2+…+Sn=2n1Tn

  故可将上式变成

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  也就是可以得到下述的公式:

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  13世纪中国数学家杨辉用堆积小立方体的方法证明了上述公式。他把12个、22个、32个…n2个小立方体堆积成ABC三个阶梯状的四角锥形。把这三个四角锥粘结在一块,如图115所示,在C上就会凸出来Tn个小立方体,如把这些凸出的小立方体切去一半放在A上,就可以形成一个底面古代的数学迷宫——图形数 - 亿能 - 亿能部落格---观察思维比思维本身更重要

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  是由作图得出的结果,所以也得到以下公式:

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  现在看看关于1323n3的求和公式。让我们首先参看图116左上角的那个最小的中间有点的小正方形,我们把它看成是1的正方形,设它各边长为一单位,然后把它相邻的两边各延长2单位,再作一个每边长为12=3的正方形。这样在原来1的正方形右边添加的磬折形数就是222的正方形,也就是22×2=23。为什么可以这样说呢?我们只要注意到图中打有双重斜线的地方,正好和空白的地方相抵消,于是就可以说添加的就是两个边长各是2的正方形,其中一个打右斜线,另一个打左斜线。

  然后在相邻的两个边上再延长3个单位长,作一个每边长为123=6的正方形。于是,添加的磬折形数就是33332)。进一步,相邻两边再延长4个单位长,又出现了空白抵消掉双斜线部分,添加了442,磬折形数成为43。这样作出的正方形,因为每边都是1234单位长度,所以就成为:

  13233343=12342

  其一般通式,可以证明为:

  1323+…+n3=123+…+n2

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  希腊人不仅仅研究了把点排列在平面上的多角数,而且还研究了把点排列在空间的锥形数。如果把点排列成三角锥的形状,它的样子就如图117所示。

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  其第n个三角锥数是

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  再看看排列成四角锥形状的图形,就可以得出其第n个四角锥数应是:

 

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  古希腊人不但由一个顶点引出射线,并在射线上取点作出多角数及锥形状,而且还由图形的中心点引出射线,依靠射线作出了有心多角形。其有心三角形,如图119所示是:

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  图中三条实线,每两条线间都有三个点,连同线上的点,排列成一个三角数。其中中心点是三个三角数共有的,实线上的点是相邻两个三角数共有的。因此第n个有心三角数的通式应为:

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  有心四角数如图120所示为:

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  同理,第n个有心四角数,可以用下式表示:

  4Tn-11=2nn-1)+1

  前边的图19也是一个有心四角数。你不妨翻开前边看看,它对你理解有心四角数是会有帮助的。

  此外,还可以按上述方法,进一步研究有心五角数及有心六角数等等。那么,第n个有心五角数应该是由5Tn-11给出,而第n个有心六角数则是由6Tn-11给出。

  如果在第n个有心六角数外边,再附加上6个第n-1号的三角数,那就可以作出一个星形六角数(如图122所示),其第n个星形六角数,可以由12Tn-11给出。

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  我们从卡道纳所编的《数学游戏Ⅲ》中得知:可以构成平方数的星形六角数有一些性质是很有意思的。例如,若令第n个星形六角数6nn-1)+1等于一个平方数m2,即:

  m2=6nn-1)+1

  然后将上式的左边乘3再加2,其值就可以表示成三个连续自然数的平方和,同时还可以表示成两个连续自然数的平方和,用数学式表示就是:

  3m22=m-12m2+(m12

  =3n-22+(3n-12

  不过不是所有的星形六角数,都可以有上述的可构成平方数的关系,其中比1大的最小值是121。此时,n=5m=11,代入上式计算为:

  365=102112122=132142

  其次,能构成平方数的星形六角数是11881。此时,n=45m=109,代入上式为:

  35645=108210921102=13321342

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